Математические закономерности имеют отношение не только к музыкальной вертикали (то есть что звучит в конкретный момент, какие сочетания звуков образуются), но и к горизонтали – как музыка организована во времени. Метр в музыке играет ничуть не меньшую роль, чем в поэзии. В чередовании сильных и слабых долей проявляется математическая идея периодичности. На микроуровне периодичность в музыке можно выразить довольно просто: через какое количество заданных единиц времени повторится сильная доля. Соответственно этому строятся музыкальные фразы и даже образуются целые жанры. Например, за вальсом закрепился размер 3/4 (сильная доля + две слабых), за полькой 2/4 (сильная доля + слабая доля) и т.д. Конечно, жанр определяется не только размером, но этот параметр – один из основных.
На макроуровне периодичность в музыке тоже проявляется, но тут уже имеется в виду повторяемость более крупных отрезков, музыкальных построений, что в итоге образует форму сочинения в целом. Если же вернуться на микроуровень и посмотреть на соотношения отдельно взятых нот в плане их протяженности во времени, то тут снова пропорциональность: если построить шкалу всех возможных вариантов по нисходящей, от самой длинной до самой короткой, то каждая следующая длительность будет ровно вдвое меньше, чем предыдущая. Здесь, конечно, есть отклонения, например, деление ноты не на два, а на три, но такие примеры как раз и существуют благодаря заданной системе.
Еще два важных математических концепта имеют для музыки большое значение: золотое сечение и симметрия. Они важны для всего искусства в целом, именно эти два принципа лежат в основе произведений, интуитивно ощущаемых нами как наиболее гармоничные и совершенные с точки зрения формы. Музыкальное произведение – это всегда процесс, развивающийся во времени, мы не способны воспринять его так же, как картину или скульптуру, охватить взглядом и увидеть пропорции и соответствия. Но тем не менее удивительным образом золотая пропорция проявляется и здесь: очень часто главная кульминация произведения падает на точку золотого сечения, иногда буквально (если подсчитать такты), иногда очень близко к нему. Это сложно назвать случайностью, настолько это распространено. Такая особенность не могла бы удержаться и закрепиться в практике, если бы не соответствовала восприятию музыкальной формы – так в ней ощущается логика и гармоничность. Конечно, есть и достаточное количество исключений, особенно в крупных произведениях, где могут работать другие закономерности и принципы, но тем не менее одно не отменяет другого.
Закон золотого сечения нашел свое отражение также в строении музыкальных инструментов, особенно струнных. Например, известно, что Страдивари, чьи инструменты являются эталонами красоты и прекрасных звуковых качеств, создавал свои творения по закону золотого сечения.
Фото fibonaccisgoldenmozart.blogspot.com
Симметрия также может проявляться и на уровне формы произведения, когда есть ось и от нее пьеса раскрывается, как книга. Но не меньшее значение имеет симметрия для внутреннего устройства музыкального материала, а точнее для его способности к развитию и трансформации. К примеру, сложно представить себе полифоническую музыку без изменения основной темы, то есть главной мысли сочинения, обычно довольно кратко изложенной, по законам симметрии. Смысл полифонии в том, что музыкальная ткань складывается из линий или пластов, развивающихся самостоятельно и относительно независимо друг от друга. Именно поэтому часто мы слышим полифонические произведения как своеобразные диалоги, когда все говорят одновременно, поочередно выходя с основной темой на первый план, а затем уходя в тень. Так вот чтобы такой «диалог» получился, нужно сохранить общую тему (бывает их и несколько, но это уже разновидность), при этом иногда видоизменяя ее для разнообразия и динамики. Наглядно эти приемы изменения на основе принципа симметрии лучше всего проиллюстрирует известный магический квадрат:
Если представить, что слово TENET – это основная тема фуги, очень распространенного жанра полифонической музыки, то станут понятны и принципы трансформации этой темы на основе симметрии: есть основной вариант, читающийся слева направо, есть обратное движение или ракоход, читающийся справа налево, далее можно представить себе букву N как линию симметрии по вертикали и получить тему в обращении (инверсии), идущий сверху вниз, и соответственно ракоход инверсии, идущий снизу вверх. Это основные приемы контрапункта, то есть сочетания голосов в полифонии, которые получили новую жизнь в музыке ХХ века. Начало этому положила Новая венская школа, а именно Арнольд Шёнберг, Альбан Берг и Антон Веберн. Вообще музыка этих композиторов стала поворотом к рациональности в европейской музыке после периода романтизма, который можно назвать относительно более «эмоциональным». Сравните два сочинения: ранний «позднеромантический» Шёнберг, и его же музыка более позднего периода. Даже не зная разницы в методе, использованном композитором, можно услышать, что музыка устроена по-другому, имеет другой характер и использует другой язык. Далее – сочинения Берга и Веберна, учеников и последователей Шёнберга.
В музыке ХХ века было много разных музыкальных направлений, основанных на рациональных математических принципах. Те же нововенцы активно использовали приемы, описанные при помощи магического квадрата, этот символ даже был высечен на могиле Веберна. С развитием компьютеров и электронной музыки математический компонент в музыке только усилился. Можно назвать многих композиторов, двигавшихся в этом направлении, назовем только некоторых. При помощи электроники создавал многие свои сочинения выдающийся новатор и продолжатель идей Шёнберга Карлхайнц Штокхаузен.
Спектральная музыка – еще один пример применения компьютеров. Этот метод основан на анализе звукового спектра и дальнейших манипуляциях с результатами этого анализа, которые потом становятся основой сочинения. Авторы-спектралисты: Жерар Гризе и Тристан Мюрай.
Янис Ксенакис был создателем стохастической музыки. Таким термином композитор описывал свой метод композиции, при котором музыка основывается на законах вероятностей и законах больших чисел. К слову, Ксенакис был не только музыкантом, но и выдающимся инженером и архитектором, работавшим в мастерской Ле Корбюзье и участвовавшим в создании многих известных проектов. В том числе им был разработан проект павильона Филипс для всемирной выставки ЭКСПО-58 в Брюсселе, получивший название «Электронная поэма». Интересен этот павильон был не только своей формой, но и тем, что в нем звучала музыка самого Ксенакиса в соавторстве с Эдгаром Варезом, еще одним выдающимся композитором-новатором.
Тема связи музыки и внутренне родственной ей математики далеко не исчерпывается этим небольшим обзором. Нужно сказать главное: рациональность в музыке так же важна, как и эмоциональность. Многие математические закономерности присутствуют в музыке имплицитно, другие же привносятся композиторами извне и становятся основой методов работы с материалом и чертами авторского стиля. Стоило бы пересмотреть наше представление о том, что музыка приходит композитору исключительно по наитию: создание произведения – это труд, который требует рационального мышления. Моцарт не был бы Моцартом, если бы не мыслил так же хорошо, как «сухой теоретик» Сальери. Кстати, Сальери был хорошим композитором и никого не отравлял, зря его оклеветали.
